고전적인 운동 방정식에서 입자의 위치나 운동량 같이 의미가 직관적으로 익숙하지만
슈뢰딩거의 파동 방정식은 추상적인 파동함수를 다루는데, 파동함수로부터 어떤 측정
결과의 확률분포를 가정할 수 있다. 전자를 파동으로 하여 전자의 상태를 구할 수 있다
▶ 슈뢰딩거의 파동방정식 ( Time-dependent Schrodinger Wave Equation )
양자역학 에서는 입자의 상태를 파동 함수(Wave Function) 으로 표현한다
물리학적 공간의 입자는 파동함수ψ(x, y, z, t)로 표현된다
ψ와 일차도함수 ψ'(=▽ψ) 는 연속(Continuous), 유한(Finite), 단일 값(Single Value) 을 갖는다
▽ = 삼차원 미분 연산자
x, y, z 는 위치를 표현 , t 는 시간을 표현 한다
이 파동함수로 입자에 대한 모든것을 설명할 수 있다
▷ 파동함수 규격화( Normalization )
특정한 위치에서 특정한 시간에 계산한 그 절대크기의 곱 ψψ* = ㅣψㅣ^2
ψ가 확률밀도함수 p와 동일하다는 전제하에 모든 시간에 입자는 어디엔가 존재 한다
규격화(Normalization) 이라는 것은
확률밀도 함수를 전체 적분을 하였을 때, 1 이 되어야 한다는 것을 말한다
즉 입자가 전체 영역 내에서 발견될 확률이 1 이 된다는 것을 의미하는데
입자가 어디에 존재하는 지는 정할 수 없어도 일단 존재해야 한다는 뜻이다
파동함수와 파동함수의 켤레복소수 의 곱으로 P(x) 를 구할 수 있다는 것은
파동함수가 구해지면 입자의 ' 위치 ' ' 시간 ' 에 대한 모든 것을 구할 수 있다 는 것이다
자유입자(Free Particle) 에 대해, 단일 진폭 A, 단일 각진동수 w, 진행방향이 +x 이면
밑에의 식이 나온다
양자역학에서 규격화( Normalization ) 는 가장 기본이 되며 문제풀이의 출발점이 된다
▶ 슈뢰딩거 시독립 파동방정식 ( Time-dependent Schrodinger Wave Equation )
이 파동함수 방정식은 양자상태가 시간(t) 에 따라 어떻게 변하는지를 기술하는 방정식이다.
▷ 식 유도
양자역학에서 파동함수 ψ 가 일반적인 운동변수 y 에 해당한다고 하면
여기서 플랑크 상수인 E=hv, 데브로이 물질파 λ=h/p=2πh/p 를 대입 해준다
이 공식을 넣어주는 순간 양자역학(Quantum Mechanics) 이 된다
위의 식은,
전체 에너지가 E 이고, 운동량은 P 이며 +x 방향으로 진행하는
입자의 파동을 수학적으로 기술한 식이다
여기서
이 입자의 전체에너지 식 양변에 ψ 를 곱해준다
→ 원래의 E = KE + PE = p^2/2m + V 식을 양자역학적으로 바꾸는 것이다
< 식 - 3 > 에서 각각 미분한 두 식들을, < 식 - 5 > 에 대입해주면 ( 양변에 ψ 를 곱해준 식 )
ψ 파동 이라 하는 것은 ( x, y, z, t ) 로 표현되는데 '1차원' 이라 하면
ψ ( x, t ) 만이 남는다
따라서 위의 식을 일차원에서 ( x, t ) 함수인
1차원 Schordinger Wave Equation 이라고 한다
