▶ 정상상태의 Schordinger 방정식 (Steady-State of Schordinger Wave Equation)
단순하지만 타당한 방정식이다.
앞선 글에서 우리는, 양자역학에서 파동함수 ψ 가 일반적인 운동변수 y에 해당한다 하고
플랑크 상수(E=hv) 와 데브로이의 물질파(λ=h/p=2πh/p)을 적용하여
전체 에너지가 E, 운동량이 P, +x방향으로 진행하는 자유입자의 파동을 기술한 식을 구하였다
이 식-1 에서, 변수( A, e )를 분리하여 식-2 을 유도한다
Schordinger의 시독립 방정식에서 'ψ ' 자리에 식-2를 대입한다
이제 식-3 에서 각 항을, e^-j(E/h)t 로 나누어 준다
변수를 분리하여 시간과 관계 없는 값 으로 만들어 주는 것이다
▶ 전위우물(Potential Well) 의 경계조건
0 ~ L 사이에 입자(-) 가 존재하는 데 그 입자를 중심으로 파장이 만들어진다
그래프 안에 (-) 가 있다하면
0<x<L, 에서 포텐셜 V(x) = 0 이고, ψ (x) 는 어딘가에 존재한다는 뜻이고
x=0, 에서 포텐셜을 V(x) = ∞ 으로 놓으면 ψ (x) = 0 이다
▷ 자유입자 파동방정식, 우물 내 ( 0 < x < L ) 에서의
시간독립 파동방정식에 V(x) = 0 을 대입을 한다면 아래의 식이 나온다
식-5 ψ (x) 를 퓨리에 시리즈 (Fourier Serize) 로 푼다면 Cos, Sin 함수의 곱으로 되어있다
ψ = B cos Kx + j A sin Kx
조건에서 x=0, ψ=0 이므로 식-6 에 대입하면 0 = B cos0(=1) + 0 이 되므로
B = 0 이 되어 아래의 식만이 남게 된다
ψ = A sin Kx 이 식을,
전위우물 안에서 경계 조건에 의해 만들어지는 파동함수 라고 한다
▷ 양자화 에너지, K 구하기
전위우물 안에 존재하는 에너지가 어떤 상수값( L, m, π ) 에다
어떤 정수배가 곱해진것 ( 자연수를 곱한 값 )
L 이 줄어들면 En 의 값이 증가하는 형태
이것을 우리는 양의 정수(양자), 양자효과(Quantum Effect) 라고 하고
입자의 에너지가 양자화 되어있다 한다
▷ 진폭 A, 의 결정
▷ 마무리
전위우물 안에서 경계조건에 의해 만들어지는 파동함수
ψ = A sin Kx 에서, K 와 A 를 모두 구하였다
A = √2/L , K = nπ/L 대입
ψ = √2/L sin (nπ/L) x
우리는 식-5 의 파동방정식 으로부터 식-9 의 해를 구하였다
n 값에 따라 에너지, 파동함수가 모두 변화하는 것을 알 수 있고
n 의 값이 커질수록 L 의 길이에서 전자(-) 를 발견할 확률이 일정해진다는 얘기이다
위와 같은 전위 우물에 전자(-)를 떨어뜨린다고 가정하면
E 가 바닥부터 시작하는 것이 아닌 E1 으로 부터 시작해 E2, E3 로 가고
그 사이 E 로는 전자가 지나다닐 수 없다
n=1, 일때의 전자(-) 를 발견할 확률이 최대치가 되는 지점은 n=1 의 중앙 지점이다
n=2, 일때의 전자(-) 는 각각 1/4 지점 3/4 지점이다
즉 n=2 에서 동그라미 쳐진 부분, 우물의 양 끝과 중앙에서의
전자(-) 를 찾을 확률을 낮다는 것이다
